TOESTANDEN

|ψ> is een ket-vector, dwz element van een Hilbert-Ruimte.
<ψ| is een bra-vector, dwz een lineaire functionaal op de Hilbert-Ruimte.

Ā is Hermitisch geconjugeerd.

EUCLIDISCHE RUIMTE

1-Dimensionaal

coordinaat x, volledig stelsel.

Translatie T(a):

   x'  = x - a
  |ψ'> = U|ψ>

Ruimte is Homogeen dwz alle waarnemingen zijn invariant onder translaties.

  <φ'|ψ'> = <φ|ŪU|ψ> = <φ|ψ>  
  
  =>  ŪU = 1                                     (1)
  
  <φ'|x'|ψ'> = <φ|Ū(x - a)U|ψ> = <φ|x|ψ> 
  
  =>  ŪxU = x + a                                (2)
  
Neem nu een infinitesimale translatie δx
  
   x'  = x - δx
  |ψ'> = U|ψ> = (1 - iI.δx)|ψ>


uit (1) volgt:

  1 = (1 + iĪ.δx)(1 - iI.δx) = 1 + i(Ī - I).δx + O(δx²)
  
  => Ī = I                                       (3)
  
uit (2) en (3) volgt:

  x + δx = (1 + iI.δx) x (1 - iI.δx) = x + i(Ix - xI).δx + O(δx²)
  
  => xI - Ix = i
  
Definieren we D = -i(∂/∂x) dan geldt:

  xD - Dx = i
  
Voor F = D - I geldt dus dat:

  xF - Fx = 0 voor alle x
  
  => F = F(x), dwz een functie van x alleen.
  
We hebben bewezen dat:

  I = -i(∂/∂x) + F(x)                            (4)
  
Om uit I een eindige translatie a te krijgen moeten we:

  U(a) = exp(-iIa) 
  
gebruiken.

INTRODUCTIE VAN DE TIJD

Naast de ruimtelijke coordinaat x introduceren we de tijdcoordinaat t.

x en t zijn (voorlopig) onafhankelijke coordinaten, dwz: 
- x en ∂/∂x commuteren met t
- t en ∂/∂t commuteren met x.

GALLILEO TRANSFORMATIE

Een Gallileotransformatie is geen gewone translatie, 
maar een tijdafhankelijke translatie:

  x' = x - v.t                                   (5)

We zullen nu een generator van de Gallileotransformatie zoeken door
de transformatie voor kleine v (δv) te onderzoeken.

We definieren analoog aan de gewone translatie (4) een generator I:

  I = -it(∂/∂x) + F(x)                           (6)
  
voor een infinitesimale transformatie

  U(δv) = 1 - iI.δv
  
en een eindige Gallileotransformatie

  U(v) = exp(-iIv)
  
Deze transformatie levert het gewenste resultaat (5) op.

De functie F(x) in (6) zou overigens ook een F(x,t) mogen zijn,
zonder dat dat gevolgen heeft voor de tijd-ruimtelijke transformatie.

IMPULS

Tot nu toe was alles geometrisch, met een tijdcoordinaat.